通信の基礎 part2 - nsasakiの勉強メモ

今回のテーマ

フーリエ変換
フーリエ逆変換
たたみこみ積分

フーリエ変換

周期関数はフーリエ級数で対応をとれた。
ではこの考えを非周期関数に適用させたものは？
→フーリエ変換

周期関数の周期Tを∞にもっていけば非周期関数もフーリエ解析できるのでは？？
結論：出来る。

複素フーリエ級数の係数 $C_{n}$
$C_{n} = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) exp{-jn\omega_{0}t}dt$
Tを∞に飛ばすと $C_{n}$ は0に収束しそう。。そこで辺々にTをかけ $C_{n}T$ について考える。
$\lim_{n \to \infty}C_{n}T = \int_{-\infty}^{\infty}f(t) exp{-jn\omega_{0}t}dt$
$\omega = n\omega_{0}$ として、
$\fbox{F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) exp{-j\omega t}dt}$
この拡張は、関数を「各周波数成分に分解する」という考えとは異なる「周波数領域への変換」という概念を導入することに。
すなわちフーリエ変換とは時間領域→周波数領域の変換である。
$C_{n}= \frac{2 \sin{n\omega_{0}T_{1}}}{n\omega_{0}T}$
$n\omega_{0} = \omega$
$F(\omega) = \frac{2 \sin{\omega T_{1}}}{\omega T}$
$TC_{n} = \frac{2 \sin{n\omega_{0}T_{1}}}{n\omega_{0}}$

フーリエ逆変換

$F(\omega) \to f(t)$
結論
$\fbox{f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) exp{j\omega t}dt}$
$F(\omega)$ :周波数スペクトル

f(t)の区間 $\left( -\frac{2}{\pi} , \frac{2}{\pi} \right) \to f_{T}(t)$
$-\frac{2}{\pi} \le t \lt \frac{2}{\pi} \; \; f_{T}(t) = f(t)$
周期T $f_{T}(t+T)=f_{T}(t)$
$\begin{align}f_{T}(t) & = & \sum_{n=0}^{\infty}C_{n} exp{j\omega nt} \\ & = & \sum_{n= -\infty}^{\infty} \frac{1}{T}F(n\omega_{0}) exp{-jn\omega_{0}t}\end{align}$
$\omega_{0} = \frac{2\pi}{T}$ を代入し、
$f_{T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}F(n\omega_{0}) exp{-jn\omega_{0}t}\omega_{0}$
これは $\omega_{0} \to 0$ で積分の定義に一致。
この $f_{T}(t)$ を $F(\omega)$ の逆フーリエ変換と呼び、 $\mathcal{F}^{-1} [ F \left( \omega \right) ]$ と記す。

単位インパルス関数

$\delta(t) = \left{ \frac{1}{\Delta} \;\;\left( \mathrm{-\frac{\Delta}{2} \le t \le \frac{\Delta}{2} } \right) \\ 0 \;\; \left( \mathrm{else} \right)$
を定義すると、

$t=t_{0}$ の近傍で連続な関数f(t)に関して、
$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_{0})dt \\ = \lim_{\Delta \to 0} \frac{1}{\Delta} \int_{t_{0} - \frac{\Delta}{2}}^{t_{0} + \frac{\Delta}{2}} \frac{1}{\Delta}dt = f(t_{0})$
単位インパルス関数は他の関数をを標本化する働きがある。
$f(t) = exp{-j\omega t}$
では $\delta(t)$ のフーリエ変換は？
$\mathcal{F} \left[ \delta \left( t \right) \right] = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t) exp{-j\omega t} dt = f(0) = e^{0} = 1$
$\delta(t) - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}{\infty} exp{j\omega t} d\omega , \;\; 2\pi\delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}exp{j\omega t} d\omega$
$\omega \leftrightarrow t$
$\omega \leftrightarrow -\omega$
$\fbox{{\mathcal{F} \left[ 1 \right] = 2\pi \delta(\omega)}$

フーリエ変換
周波数推移則
$2\pi\delta(\omega) = \mathcal{F}\left[ 1 \right]$
$\mathcal{F} \left[ exp{j\omega t} \right] = 2\pi\delta(\omega-\omega_{0})$

ゲート関数

$\Pi(\frac{t}{T}) = \left{ 1 \;\; \mathrm{(if |t| \lt \frac{T}{2}) } \\ 0 \;\; \mathrm{(if |t| \ge \frac{T}{2} )}$

$\begin{align} \mathcal{F} \left[ \Pi(\frac{t}{T}) \right] & = & \int_{-\infty}^{\infty} \Pi(\frac{t}{T}) exp{-j\omega t}dt \\ & = & \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} exp{-j\omega t}dt = \left[ \frac{ exp{j\omega t} }{-j\omega} \right]^{\frac{T}{2}} _{{-\frac{T}{2}}} \\ & = & \frac{exp{j\omega \frac{T}{2}} - exp{-j\omega \frac{T}{2}} }{j\omega} = \frac{2 \sin{\frac{\omega T}{2} } }{\omega} = T \times \frac{\sin{(\omega \frac{T}{2} )}}{(\omega \frac{T}{2})} \end{align}$

※sinc関数

$\frac{\sin{x}}{x}$
標本化関数とも呼ばれる。

たたみこみ関数

$\fbox{z(t) = f(t)*g(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(t-x) dx}$

時間	$f(t)g(t)$	$f(t)*g(t)$
	↓	↑
周波数	$F(\omega)*G(\omega)$	$F(\omega)G(\omega)$

$\mathcal{F} \left[ f\left( t \right) * g \left( t \right) \right] \\ =\int_{-\infty}^{\infty} exp{-j\omega t} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) g \left( t-x \right) dx \right] dt \\ =\int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} g \left( t-x \right) exp{-j\omega t} dt \right] dx \\ =\int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) \left[ \int_{-\infty}^{\infty} g\left( t^{'} \right) exp{-j\omega t^{'}} dt^{'} \right] dx \\ =\int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) G \left( \omega \right) exp{-j\omega t} dx \\ = F \left( \omega \right)G \left( \omega \right)$

上式で時間領域と周波数領域を入れ替えると同様にして、
$\fbox{\mathcal{F} \left[ f\left( t \right) g\left( t \right) \right] = \frac{1}{2\pi} F \left( \omega \right) * G \left( \omega \right)$