通信の基礎 part3

通信 授業
スペクトルと信号処理

フーリエ変換の性質

  • f(t) \longleftrightarrow F(\omega)
  • g(t) \longleftrightarrow G(\omega)
  1. 線形性
    • af(t)+bg(t) \longleftrightarrow aF(\omega)+bG(\omega)
  2. 対称性
    • f(t) \longleftrightarrow F(\omega) \Rightarrow F(t) \longleftrightarrow 2\pi f(-\omega)
  3. 相似性
    • f(at) \longleftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})
  4. 周波数推移
    • \fbox{f(t)exp{j\omega_{0}t} \longleftrightarrow F(\omega - \omega_{0})
    • 周波数変換
    • ベースバンド信号→無限周波数へ
  5. 時間推移
    • f(t - t_{0} ) \longleftrightarrow F(\omega) exp{-j\omega t_{0}}

共役対称性
\fbox{F(-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) exp{-j\omega t} dt = F^{*}(\omega)
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) exp{-j\omega t} dt
\begin{align}F^{*}(\omega) & = & \left[\int_{-\infty}^{\infty} f(t) exp{-j\omega t} dt \right]^{*} \\ & = & \int_{-\infty}^{\infty} f(t) exp{j\omega t} dt = F(-\omega) \end{align}

パーセバルの定理

\fbox{\int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(t) exp{-j\omega t} dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^{2} d\omega

\mathcal{F} [ f(t)g(t) ] = \frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega)
G(-\omega) = G*(\omega)
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t)exp{-j\omega t} dt & = & \frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega) \\ & = & \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega^{'})G(\omega - \omega^{'})d\omega^{'} \\ & = & \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega^{'})G^{*}(\omega^{'} - \omega)d\omega^{'}\end{align}
ここで、f(t) = g(t) , \omega = 0　を代入すると
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(t) dt & = & \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega^{'})F^{*}(\omega^{'})d\omega^{'} \\ & = & \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} | F(\omega^{'}) |^{2} d\omega^{'}\end{align}

たたみ込み積分

g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)h(t-\tau)d\tau
f(t)*h(t) \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F(\omega)H(\omega)



―――――――＞\fbox{?}―――――――＞
インパルス　　　　　　　　　　　　　h(t)

伝達関数とインパルス応答

\delta(t)　　　　　　　　　　　　　h(t)
―――――――＞\fbox{\mathcal{L}}―――――――＞
f(t)　　　　　　　　　　　　　g(t)


g(t) = f(t) * h(t)
\mathcal{L} \left[ f(t) \right] = g(t) \; \; , \;\; \mathcal{L} \left[ \delta(t) \right] = h(t)
線形

  • \mathcal{L} \left[ af_{1}(t) + bf_{2}(t) \right] = ag_{1}(t) + bg_{2}(t)

時間不変

  • \mathcal{L} \left[ f(t-t_{0}) \right] = g(t - t_{0})

G(\omega) = F(\omega)H(\omega) \begin{cases}g(t) \longrightarrow G(\omega) \\ f(t) \longrightarrow F(\omega) \\ h(t) \longrightarrow H(\omega) \end{cases}

フィルタ

  • 低域通過フィルタ
  • 高域通過フィルタ
  • 帯域通過フィルタ
無歪伝送（歪み、ひずみ）

振幅が周波数に対して平坦であり、かつ位相が周波数に関して直線的に変化する。
g(t) = kf(t-t_{d})
\begin{align} G(\omega) & = & kF(\omega) exp{-j\omega t_{d}} \\ & = & F(\omega) (k exp{-j\omega t_{d} } ) \end{align}
k exp{-j\omega t_{d} } = H(\omega) とする
|H(\omega) | = k , \; \; \angle H(\omega) = \omega t_{d}

理想低域フィルタ

ある周波数範囲の信号のみをそのまま通過させ、それ以外の周波数成分を完全に減衰させるもの。
t<0で0でないインパルス応答を持つシステムであるため実現不可能である。
H(\omega) = \begin{cases} \; 1 \; (|\omega | \le \omega_{L} ) \\ \; 0 \; (|\omega | > \omega_{L}) \end{cases}

\begin{align} h(t) & = & \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} H(\omega) exp{j\omega t} d\omega \\ & = & \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_{L}}^{\omega_{L}} exp{j\omega t} d\omega \\ & = & \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{exp{j\omega t} }{jt} \right]_{-\omega_{L}}^{\omega_{L}} = \frac{1}{2\pi} \times \frac{exp{j\omega t} - exp{-j\omega t} }{jt} \\ & = & \frac{1}{2\pi} \times \frac{2j \sin{(\omega_{L} t)} }{ jt } = \frac{\omega_{L}}{\pi} \times \frac{\sin{(\omega_{L}t)} }{\omega_{L}t \end{align}

※sinc関数が出ている

窓関数

有限の時間範囲Tの中だけ0でない値をとる関数
\cos{\omega t} = \frac{1}{2}(exp{j\omega t} + exp{-j\omega t})
\pi( \frac{t}{T} ) = \begin{cases} \;\; 1 \; (|t| \le \frac{T}{2} )\\ \;\; 0 \; (|t| > \frac{T}{2} ) \end{cases}
f(t) = exp{j\omega_{0}t}
F(\omega) = 2\pi\delta(\omega - \omega_{0})
\begin{align} W(\omega_{0}) & = & \int_{-\infty}^{\infty} w(t) exp{-j\omega_{0} t}dt \\ & = & \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} exp{-j\omega_{0}t}dt = T \times \frac{\sin{(\omega T/2)}}{\omega T/2} \end{align}